プログラマーになるためには学歴は必要ないか？

結論

必要ありません。
しかし、大学で学んだことは大いに有効ではあります。
＊ここでのプログラマーというのはプログラミングを主たるスキルとして生計を立てる人と定義します。

プログラマーとは

プロジェクトに大小に関わらず必ず以下の作業が発生します。
大規模なプロジェクトになるとそれぞれの作業に対して担当者が割り振られたりします。

実装
実際にコーディングすることを実装といいます。家を建てることに例えて言うと現場で働く鳶職の方々が設計書をもとに家を組み立てていく作業になります。
詳細設計
お客様からの要求を実現するために必要な機能を実装するための詳細な設計をする作業になります。
上流設計
お客様からの要求を実現するために必要なシステムの設計をする作業になります。
要求・要件管理
お客様からの要求を実現するために何が必要かを分解する作業になります。
リソース管理、マネジメント
お客様からの要求を実現するために必要な人材・コストを管理する作業になります。

サービスを世の中に出すまでには実にたくさんの工程を踏む必要があります。プログラミングを勉強し始めた人にとってプログラマーとは、ひたすら実装をする人の印象が強いと思います。
しかし、システム開発の殆どは紙上で行われます（実装前の詳細設計まで）。
しっかりと紙上で物事を考える必要があることから、企業では学歴を考慮ところは多数あることは理解に優しいと思われます。

プログラマーに必要な能力

理解力
設計書を理解して、コーディングする能力が必要です。
他のプログラマーが書いたコードを理解して修正、追加する能力が必要です。
創造力
コーディングにはできるだけシンプルで他のプログラマーにも読みやすくする工夫が必要です。
分析力
エラーが発生することは常です。それの原因と修正策をいち早く見つける能力が必要です。
コミュニケーション力
プロジェクトにおいては縦横のメンバーと連携して進捗させていく必要があります。
プロジェクトメンバーの行っていることをしっかりと理解し、自分自身のやっていることを理解してもらう必要があります。
コミュニケーション力がないと自分がやっていることが的外れになり、時間の無駄になってしまうことがあります。

プログラマーのキャリア

多くの方が大学を経て就職すると思いますが、新卒からどのようなキャリアを歩むことになるか、いくつか例を上げて説明します。

大企業（上場企業）
大企業ではその名の通り大きなプロジェクトを大勢で進めていく必要があります。
あるサービスを企画するところから始まり、サービスを運用していくところまですべて責任を持ちます。
その中でプログラマーのポジションというのは多くの場合若手で体力がある社員が担当することになります。
年配の社員は要件を管理したり、リソースを管理することが多いです。
ある程度時間が経つとコーディングから離れてしまいますので注意が必要です。
SIer
常駐請負で人材を派遣している企業がほとんどです。
技術以外の余計な業務がなく、コーディングを極めたい方は集中できるのでおすすめです。
ベンチャー
多くの場合プレイングマネージャーが求められます。
会社の規模が小さいので一人で何でもできることが望まれます。
フリーランス
現在の能力に応じて仕事のオファーが来るので、最初からフリーランスになることはおすすめしません。
自身の技術を最大限高めた上で最終的にフリーランスになる、というのがおすすめのキャリアです。

プログラマーにとっての最近の市場の動向

　最近の転職市場を見るとどの企業をプレイヤー、つまり、コーディングできる人材を求めています。プログラマーにとっては空前絶後の売り手市場となっており、この傾向は最低でも今後１０年は続きます。
　昨今DX（デジタルトランスフォーメーション）、AIという言葉をよく聞くと思いますが、すべての業種においてデジタル化というのは避けられない状況となっています。これがプログラマーになるためには学歴は必要ない、と言い切る理由です。市場にプログラマーが溢れかえっている状況だとより付加価値の高い人材が求められますが、現在はITの需要が異常に高く、プログラマーの敷居が低くなっている現状があります。
　兎にも角にも企業はプログラマーを欲しています。まずはプログラマーになることを目指すためのアクションを起こし、それに必要な素養は業務の中でしっかりと身につけていくことをおすすめします。

これからプログラマーになるためには

独学
スクール

　まずは独学でチャレンジしてみることをおすすめします。今となってはすべての知識はWebで調べると手にとるように取得できるからです。独学で興味のある言語に挑戦し、わからないところは飛ばしながらでも進めていってください。
　次に作りたいサービスを設定し、それに向けて開発してみてください。いろいろ壁にぶち当たることが出てくると思います。そのときにスクールに通うのが良いでしょう。